Une ellipse de lumière d'aplatissement lambda et d'orientation alpha
du grand axe s'écrit :
Où la matrice carrée exprime la rotation d'un angle alpha de
l'ellipse d'aplatissement lambda d'axes alignés au repère.
L'autre façon de décrire la même ellipse de lumière
est de la considérer constituée de composantes de phase béta
et gamma et de rapport angulaire d'amplitude psi :
Dans cette équation paramétrique seule 2 variables angulaires
sont caractéristiques de la forme de l'ellipse :
En effectuant de part et d'autre les combinaisons de relations : 1x1 +
2x2 - 3x3 - 4x4 on obtient :
En effectuant de part et d'autre les combinaisons de relations : 1x3 - 2x4
on obtient :
En effectuant de part et d'autre les combinaisons de relations : 1x4 + 2x3
on obtient :
Dans la représentation de Poincaré, la forme de l'ellipse est
représentée par un point de coordonnée sphérique
(2*alpha, 2*lambda) ; dans ce même espace de Poincaré les angles
2*psi et delta sont aussi des coordonnées sphériques du même
point caractéristique de la même forme d'ellipse :
Pour revenir sur la signification particulière des quantités
angulaires Psi et Delta en ellipsométrie des couches minces : considérons
une surface plane isotrope ; les propriétés réflectives
de cette surface sont caractérisées par une matrice diagonale
des quantités rp et rs respectivement réflectances complexes
pour les axes p et s (p parallèle et s perpendiculaire au plan d'incidence).
Ainsi, une lumière incidente polarisée linéairement à
45° du plan d'incidence (psi=45° et delta=0°) est transformée
en une lumière de rapport angulaire d'amplitude égal à
Psi (psi = Psi) et de déphasage égal à Delta (delta
= Delta) où Psi et Delta sont les quantités angulaires caractéristiques
de la surface réfléchissante (rp/rs = tan (Psi)eiDelta),
tandis que psi et delta (premières lettres p et d minuscules) sont
caractéristiques de la forme de l'ellipse de lumière respectivement
avant (psi=45°, delta=0°) et après réflexion (psi=Psi,
delta=Delta).
Compte tenu du nécessaire calcul de l'intensité lumineuse
et de la commodité des représentations géométriques
de Poincaré il est particulièrement intéressant de faire
ces calculs ellipsométriques à l'aide des paramètres
de Stokes et des matrices de Mueller : c'est en gros ce que démontre
la question posée.
Le fait que ce soient les harmoniques doubles H2 de l'angle A de l'analyseur
qui apparaissent dans l'expression de l'intensité vient de ce que les
matrices de Jones introduisent de l'harmonique H1 de l'angle A et le passage
final au calcul de l'intensité donne forcément et uniquement
des harmoniques multiples de 2 dans le cas des optiques tournantes.
En pratique, il y a toujours un peu d'harmonique simple H1 résiduel
du fait des inhomogénéités et salissures de l'optique
tournante ou du mauvais centrage du faisceau lumineux qui touche les bords
ou renvoie des reflexions parasites dans le photodétecteur.
Pour ce qui est de l'établissement des formules, nous laissons le
soin au lecteur d'utiliser les paramètres de Stokes et les matrices
Mueller comme nous le décrivons en http://perso.wanadoo.fr/aime.vareille/pages/ellipsometrie/null.html
et en http://perso.wanadoo.fr/aime.vareille/pages/ellipsometrie/In-situ.htm
; il y a en fait 2 équations instrumentales :
1) L'intensité sans compensatrice s'écrit :
2) L'intensité avec compensatrice s'écrit :
Où T = 0° et les matrices E (Echantillon) , R (Rotation :
orientation T de la compensatrice) et B (Biréfrengence de la compensatrice)
sont décrites en http://perso.wanadoo.fr/aime.vareille/pages/ellipsometrie/null.html.
Keeping the same notations, the respective orientations of the polarizer,
modulator and analyzer, referred to the plane of incidence, are respectively
denoted P, M and A.
In order to avoid confusing formulae, it is preferable to choose b (instead
of big bold A) as modulation amplitude of the birefringence of
the photoelastic modulator ; the sinusoidal variation of the birefringence 
is proportional to the stress through
the Brewster photoelastic coefficient C of the fused silica of the Modulator
:
Where 
is the wavelength of the used light, e is the thickness
of the Modulator crossed by the light and 
is the stress amplitude produced by the piezo transducer
of the Modulator where the light is passing.
Using de Stokes and Mueller matrices, we obtain the following intensity expression for the Uvisel ellipsometer :
Where the Photo Elastic Modulator (PEM) Q and the sample E are characterized
by the Matrices :
Making all the matrices multiplications, the relations given for the Uvisel
ellipsometer should be retrieved :
Where :
And then the Bessel development can be applied :
Cette image obtenue en microscopie haute résolution en transmission
par une équipe mixte du CENG et du CNET (http://perso.wanadoo.fr/anterroches/micro/Prin_TEM_html.htm)
montre l'interface de la silice avec le silicium (100).
Le silicium monocristallin (cubique diamant de distance interatomique de
0.314 nm) découpé suivant un angle de l'ordre du degré
avec le plan cristallographique (100) (cf. les standards de l'industrie microélectronique
: ASTM F1241) offre une rugosité naturelle de passage des sites A
et B augmentée des décrochements des plans cristallins fonction
de l'angle de coupe.
L'image montre un speckle homogène pour la silice thermique caractéristique
de son état vitreux parfaitement désordonné sur du silicium
monocristallin (100) parfaitement ordonné ; on peut ajouter que la
silice thermique est en forte compression (typiquement plus de 150 MPa) et
le silicium en extension (typiquement de l'ordre du Mpa) à cause de
l'augmentation de volume due à l'adjonction d'oxygène au silicium
pour former la silice et surtout à cause des différences de
coefficient de dilatation lors du refroidissement (la silice n'est pâteuse
que bien au dessus de 500°C et le silicium plastique qu'à partir
de 400°C).
De nombreuses publications d'ellipsométrie traitent de la rugosité
des interfaces ; parmi les caractérisations expérimentales poussées
on peut citer :
Cette première partie de réponse ne concerne que les rugosités petites devant la longueur d'onde lumineuse : en résumé, il semble que les relations de Fresnel soient suffisamment robustes pour rendre compte quantitativement de rugosités inférieures au quart de la longueur d'onde lumineuse en faisant l'hypothèse de couches minces interfaciales d'indice intermédiaire aux matériaux en présence.
Maintenant considérons à l'autre extrême les trous dans les couches minces ou les ilôts de couches minces d'étendues de plusieurs fois supérieures à la longueur d'onde lumineuse (e. g. de plusieurs microns à plusieurs mm pour les faisceaux de mesure ellipsométrique étendus) : que donnent les mesures ellipsométriques sur de telles surfaces hétérogènes ?
Le photodétecteur de l'ellipsomètre reçoit l'énergie lumineuse provenant de zones qui ne produisent pas les mêmes interférences. Ces énergies lumineuses n'interfèrent pas entre elles (c'est particulièrement vrai quand on forme l'image de l'échantillon sur le photodétecteur) ; fort de cette hypothèse, l'intensité lumineuse détectée est la somme des intensités lumineuses et les vecteurs de Stokes des formes de lumières réfléchies s'additionnent : il s'agit d'une addition incohérente des formes de lumière ; c'est un cas connu de dépolarisation spatiale utilisée en photoélasticimétrie holographique. Pratiquement, un ellipsomètre à annulation ne parviendra pas à éteindre la lumière émergente, il trouvera un minimum d'intensité lumineuse qui est calculable et qui peut masquer l'effet des zones qui réfléchissent peu de lumière ; pour calculer ces minima il faut connaître les différents multicouches en présence et estimer leurs surfaces relatives, calculer les vecteurs de Stokes pour chaque structure pour les additionner ... c'est tout à fait faisable et vérifiable mais peu de constructeurs d'ellipsomètres proposent les logiciels pour simuler ce cas et traiter les mesures.
Dans les cas intermédiaires, quand la rugosité est comparable en dimension à la longueur d'onde lumineuse la lumière est diffractée; les réseaux de diffraction en sont des cas particuliers qui ont d'ailleurs déjà fait l'objet d'assez nombreuses études ellipsométriques. Pour étudier de telles surfaces, il est intéressant de disposer d'ellipsomètres à photodétection d'angle solide bien calibré pouvant scruter l'ensemble de l'indicatrice de diffusion, la direction spéculaire n'étant plus la seule à renvoyer des informations exploitables.
En conclusion, les relations de Fresnel utilisées en ellipsométrie rendent bien compte de comportements statistiques des interactions lumière-matière de faisceaux lumineux intrinsèquement statistiques de photons avec des surfaces rugueuses dont les topologies sont en grande partie de nature statistique ; autrement dit, avec l'amélioration de la sensibilité des mesures ellipsométriques autour du picomètre il reste beaucoup à faire avec la puissance de calcul temps réel des ordinateurs actuels pour transformer cette sensibilité en précision à la fois sur le plan des modèles statistiques et sur le plan des suivis temps-réel des surfaces (transformations chimiques, physiques, vibrations et acoustiques (phonons ...)).
Merci de nous signaler les bogues ou de nous indiquer les programmes similaires, améliorés, traduits ou adaptés.
6) What about oil film measurement on
tinplate. chrome oxide (tin free steel), steel, aluminum, and other metals
?
Many ellipsometer are available for that purpose but very few are adapted
for simple measurements in industrial production environment for metallic
surfaces.
Among them, the Donart Model CA Ellipsometer (http://www.donartelectronics.com/ellipsometer.htm)
has interesting specifications for many specialist in ellipsometry :
SPECIFICATIONS
REPEATABILITY
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+/- 0.15 gm/bb (+/- .75 mg/m2)
ANGULAR RANGE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20 degrees
MEASUREMENT RANGE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . In excess of 1.0
gm/bb (50 mg/m2)
SAMPLE SIZE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 to 3 inch diameter
READOUT . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Direct in oil coating
weight with LED numerals
MEASUREMENT TIME .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Approximately
45
seconds
POWER REQUIREMENTS . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Volts, 60 Hz, 600
VA
(50 Hz, 220 Volt options)
VENT SIZE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 3 inch diameter
CABINET SIZE .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24" X 50" X 25"
APPROXIMATE WEIGHT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 lbs.
(Found on http://www.donartelectronics.com/ellipsometer.htm the january 28 2003)
These specifications do not give the angle of incidence and the wavelength
operating measurements.
In fact some of these aparatus are at 45° of incidence with incandescent
tungsten source filtered in yellow at around 590 nm.
Fixed polarizer means, in that case, that Psi should not vary very much in
all the practical range of measurements.
Considering practical case with transparent oil having 1.451 of refractive
index and metal substrate with complex Index (2.0 - i 2.0), simulation gives
cyclic locus with a period of 232.8 nm of oil thickness in the Psi-Delta
Plane :
The analyzer has a rotation amplitude of 20°, that means that 40°
Delta variation can be detected.
From 0 to 40 nm oil film thicknesses the couples of values (Psi, Delta) vary
from (35.61°, 158.78°) to (37.1986°, 142.211°).
In other words, Psi varies of less of 2° when Delta has a variation of
around 16° for that range of 40 nm thickness variation starting from 0.
Of course, beyond of these 40 nm of oil thickness Psi is increasing significantly
before Delta start to decrease and it yields troubles in measurements
of oil deposited quantities in minimizing only Delta for that case (1.451
oil refractive index and (2.0 -i 2.0) complex metallic refractive index).
The repeatability around +/-
.75 mg/m2 is about +/-1 nm in oil film thickness.
Other investigations should be necessary in order to characterize any substrate rugosity, oxydation, polymer or oil multilayer arrangement. Sensitivity and repeatability could be improved in ajusting angle of incidence and operating wavelength of measurement.
Suite à plusieurs demandes, nous avons préparé une
présentation
de l'ellipsométrie en 12 transparents :
Le fichier Powerpoint avec commentaires et son diaporama en un seul fichier
compressé : http://perso.wanadoo.fr/aime.vareille/pages/ellipsometrie/EllipsometrieSimplifiee.zip
La correction de cette page est assurée par aime.vareille@wanadoo.fr